TAGORE B.Ed 2017-2019 Students Portfolios

  புகழ்பெற்ற கணிதமேதை இராமானுஜம் அவர்களின் வாழ்வில் நடைபெற்ற ஒரு முக்கிய நிகழ்வைப் பற்றி காணலாம்.   ஒரு முறை கணித வல்லுநர் பேராசிரியர் G.H. ஹார்டி அவர்கள் திரு. இராமானுஜன் அவர்களை பார்க்க வாடகை மகிழ்வுந்தில் வந்தார். அவர் வந்த வாடகை மகிழுந்தின் எண் 1729. இருவரும் பேசிக் கொள்ளும் போது ஹார்டி அவர்கள் தான் வந்த வாடகை மகிழ்வுந்தின் எண் 1729 என்றும், அது ஒரு " மந்தமான எண்" என்றும் கூறினார். உடனே இராமானுஜன் அவர்கள் 1729 என்பது மிகவும் அற்புதமான எண் என்றும் அவ்வெண்ணானது இரு கன எண்களின் கூடுதலாக இரு வெவ்வேறு முறைகளில் எழுதக்கூடிய மிகச்சிறிய எண் எனவும் விளக்கினார்.   அதாவது, 1729 = 1728 + 1 = 12 3  + 1 1729 = 1000 + 729 = 10 3    + 9 3    1729 ஐ இராமானுஜன் எண் என்று அழைக்கிறோம்.

       ஈரோட்டில் பிறந்த இந்தியக் கணித மேதையான இராமானுஜத்தின் "எண்ணியல் கோட்பாடுகள்" குறித்த அவரது பங்களிப்பு அவருக்கு மிகப்பெரும் உலகப் புகழைப் பெற்றுத் தந்தது.    மிகக் குறுகிய அவரது வாழ்நாட்களுக்குள்ளேயே சுமார் 3900 ஆராய்ச்சி முடிவுகளைத் தனியாகவே தொகுத்து வெளியிட்டுச் சாதனை படைத்துள்ளார்.

   எண்ணியல் அறிவின் அடிப்படை கூறாய் கணித வளர்ச்சியில் முக்கிய பங்கு வகிக்கிறது.  கிரேக்க கணித வல்லுநர் பிதாகரஸ் மற்றும் அவர்தம் சீடர்கள் ' ஒவ்வொன்றும் எண் ' என்றும் அண்டத்தின் விளக்கம் எண்களை மையமாக கொண்டு அமைந்துள்ளது என்றும் நம்பினார்கள்.    எண்கள் எழுதும் முறையானது சுமார் 10,000 ஆண்டுகள் முன்பே தோன்றி வளர்ச்சி அடைந்துள்ளது. இன்று நாம் பயன்படுத்தும் எண்முறை வளர இந்தியாவின் பங்கு மகத்தானது. எண் முறையினம் முழுமையான வளர்ச்சியை பெற சுமார் 5000 ஆண்டுகள் ஆனது.    எல்லா கணித்த்திற்கும் ஊற்று முகப்பாய் முழு எண்கள் இருக்கின்றன. இன்றைய எண்முறையினம் இந்திய அரேபிய எண் முறை என்று அழைக்கப்படுகிறது.    இம்முறையில் 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ஆகிய எண்கள் பயன்படுத்தப்படுகிறது. இது பத்தடிமான எண்முறையினம் என்று அழைக்கப்படுகிறது. பத்து என்ற பொருளுடைய ஆங்கில மொழியின் 'டெஸிமல்' என்ற வார்த்தை லத்தீன் மொழியின் 'டெஸி' என்ற சொல்லிலிருந்து பெறப்பட்டது.

   இன்று காஸ் பற்றிய தகவல்களை அறிந்து கொண்டேன்.   " இயற்கணிதமே எண்செயலிகளின் அடிப்படை " என ஜான் ரே இயற்கணிதத்தை புகழ்ந்து கூறியுள்ளார்.    எல்லா பல்லுறுப்புக் கோவை சமன்பாடுகளுக்கும் தீர்வு காண இயலுமா? (x^2) + 1 =0 என்ற சமன்பாட்டிற்கு வெளிப்படையாகப் பார்க்கும் போது தீர்வு இல்லை என தோன்றலாம். எனினும், மெய்யெண்களைத் தாண்டிக் கலப்பெண்கள் என அழைக்கப்படும் எண்களையும் சேர்த்து பார்க்கும்போது, உண்மையில் எல்லா பல்லுறுப்புக் கோவைகளுக்கும் தீர்வு காண இயலும். இது 1799இல் ஜெர்மானிய கணிதவியல் வல்லுநர் கார்ல் பிரைட்ரிச் காஸ் என்பவரால் மெய்ப்பிக்கப்பட்ட மிக முக்கியமான இந்த தேற்றம் அடிப்படை இயற்கணிதத் தேற்றம் என அழைக்கப்படுகிறது.

   இன்று டெர்ரிக் நார்மன் லெக்மர் பற்றி அறிந்து கொண்டேன்.    "பேரண்டத்தையே உருவாக்குவன எண்கள்" என பிதாகரஸ் கூறுகிறார்.   எண்முறை கணினியானது முதன் முதலில் 1926 ஆம் ஆண்டு அமெரிக்க கணித அறிஞரும், எண்ணியலாளருமான நார்மன் லெக்மர் என்பவரால் மிதிவண்டி சங்கிலிகள் மற்றும் கம்பிகளைக் கொண்டு உருவாக்கப்பட்டது. இக்கணினியானது (2^93) + 1 என்ற வடிவிலுள்ள எண்ணை மூன்று நொடிக்குள் பகா எண் காரணிப்படுத்தியது. பிறகு, 1936 இல் இவ்வியந்திரமானது சங்கிலிகளுக்கும், கம்பிகளுக்கும் பதிலாக 16மிமீ படச்சுருள்களைக் கொண்டு மாற்றி வடிவமைக்கப்பட்டது.    எண்ணியலில் இவரின் பங்களிப்பானது இன்றளவும் கணிப்பொறி மென்பொருளில் எண்ணியல் சல்லடையின் ஒருங்கிணைந்த சுற்றுகளில் முன்னோடியாக திகழ்கின்றது.

   கணங்கள் பற்றிய பின்வரும் தகவல்களை அறிந்து கொண்டேன்.   ஒரு கணம் என்பது நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பொடுட்களின் தொகுப்பாகும்.   கணம் மூன்று முறைகளில் குறிப்படப்படுகிறது. 1) விவரித்தல் முறை 2) கணக்கட்டமைப்பு முறை 3) பட்டியல் முறை.    கணத்திலுள்ள உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை ஆதி எண் என அழைக்கப்படுகிறது. அதனை n(A) எனக் குறிப்பிடுவர்.    உறுப்பினர்கள் இல்லாத கணம் வெற்றுக் கணம் என அழைக்கப்படுகிறது.    கணத்திலுள்ள உறுப்புகள் பூச்சியமாகவோ அல்லது முடிவுறு எண்ணிக்கையிலோ இருந்தால் அது முடிவுறு கணம் என அழைக்கப்படுகிறது. இல்லையெனில், முடிவுறாக் கணம் என அழைக்கப்படுகிறது.    இரு முடிவுறு கணங்களின் ஆதி எண்கள் சமம் எனில், அவை சமான கணங்கள் என அழைக்கப்படுகின்றன.    இரு கணங்களிலுள்ள அனைத்து உறுப்புகளும் ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளாக இருந்தால் அவ்விரு கணங்களும் சம கணங்களாகும்.

   இன்று கணங்களைப் பற்றி பின்வரும் தகவல்களை அறிந்து கொண்டேன்.   நன்கு வரையறுக்கப்பட்டப் பொருள்களின் தொகுப்பு கணம் எனப்படும். இங்கு நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட பொருள்களின் தொகுப்பு என்பது கொடுக்கப்பட்ட பொருள், கொடுக்கப்பட்ட தொகுப்பில் உறுப்பாக உள்ளதா? இல்லையா? என்பதைப் பொருத்து அமைகிறது.    சான்றாக, 1. மாவட்ட மைய நூலகத்தில் உள்ள நூல்களின் தொகுப்பு. 2. ஒரு வானவில்லில் உள்ள வண்ணங்களின் தொகுப்பு. 3. பகா எண்களின் தொகுப்பு. 4.இயல் எண்களின் தொகுப்பு. 5. ஆங்கில எழுத்துகளின் தொகுப்பு. 6. நம் நாட்டிலுள்ள மாநிலத்தின் தொகுப்பு. மேற்கூறிய அனைத்தும் நன்கு வரையறுக்கப்பட்ட தொகுப்பாக அமைவதால் அவை கணங்கள் ஆகும்.

இன்று ஜார்ஜ் கேண்டர் பற்றி பின்வருவனவற்றை அறிந்து கொண்டேன்.    "பன்மையையும் ஒருமையாக காண வைப்பது கணம்" என்று கூறியவர் ஜார்ஜ் கேண்டர்.                                                                              ( 1845 - 1918 )     ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் ஜார்ஜ் கேண்டர் கணங்களின் கோட்பாடுகளை உருவாக்கினார்.   இன்று அவை கணிதத்தின் அனைத்து பிரிவுகளிலும் பயன்படுத்தப்படுகின்றன.    கணிதத்தில் அனைத்து கணிதக் கட்டமைப்புகளையும் கணங்களாகவே கருதலாம்.

   வரிசையில் அமைந்த மூன்று அல்லது நான்கு புள்ளிகள் தரப்பட்டால் அப்புள்ளிகளால் அமையும் வடிவத்தை நிறுவ:    முக்கோணம் எனில் அதன் எவையேனும் இரு பக்கங்களின் கூடுதல் மூன்றாவது பக்கத்தை விட அதிகமாக இருக்கும்.    இரு சமபக்க முக்கோணம் எனில் அதன் இரு பக்கங்கள் மட்டும் சமமாக இருக்கும்.    சமபக்க முக்கோணம் எனில் அதன் மூன்று பக்கங்களும் சமமாக இருக்கும்.    சதுரம் எனில் அதன் நான்கு பக்கங்கள் சமம் மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் சமமாக இருக்கும்.    செவ்வகம் எனில் அதன் ஒரு எதிரெதிர் பக்கங்கள் சமம் மற்றும் மூலைவிட்டங்கள் சமமாக இருக்கும்.    இணைகரம் எனில் அதன் எதிரெதிர் பக்கங்கள் சமம். ஆனால் அதன் மூலைவிட்டங்கள் சமமல்ல.    சாய்சதுரம் எனில் அதன் நான்கு பக்கங்களும் சமம் ஆனால் அதன் மூலைவிட்டங்கள் சமமல்ல. மேற்கூறிய தகவல்களை அறிந்து கொண்டேன்.

  பிரான்ஸ் நாட்டு கணித அறிஞர் ரெனே டேக்கார்ட் ஆயத்தொலை வடிவியல் அல்லது பகுமுறை வடிவியல் என்ற புதிய பிரிவைக் கணிதத்தில் உருவாக்கினார். அது கடந்த காலங்களில் எண்கணிதம், இயற்கணிதம் மற்றும் வடிவியல் ஆகியவற்றை ஒருங்கிணைத்து, வரைபடத்தில் புள்ளிகளாகவும், சமன்பாடுகளாகவும் வடிவியல் உருவங்களாகவும் காட்சிப்படுத்தும் ஓர் உத்தியாகும். தளத்தில் ஒரு புள்ளியின் ஆய அச்சு தொலைவுகளையும், இரு எண்களையும் பயன்படுத்தி ஒன்றுக்கொன்று செங்குத்தான இரு கோடுகளில் இருந்து அது எவ்வளவு தொலைவில் உள்ளது என்பதன் மூலம் குறிக்கலாம். இது முழுவதும் ரெனே டேக்கார்ட்டின் கண்டுபிடிப்பாகும்.

   ஒரு நாற்கரத்தின் எதிர்ப் பக்கங்கள் சமம் எனில் அது ஓர் இணைகரம் ஆகும். இணைகரத்தின் பண்புகள்    ஓர் இணைகரத்தின் எதிர் பக்கங்கள் சமம்.    இணைகரத்தின் ஒரு மூலைவிட்டம் அதனை இரு சர்வசம முக்கோணங்களாகப் பிரிக்கின்றது.    ஓர் இணைகரத்தில் எதிர் கோணங்கள் சமம்.    இணைகரத்தின் மூலைவிட்டங்கள் ஒன்றையொன்று இரு சமக்கூறிடும்.     ஒரே அடித்தளத்தையும் ஒரு சோடி இணைக் கோடுகளுக்கிடையேயும் அமையும் இணைகரங்களின் பரப்புகள் சமம். 

   இன்று ஆசிரியர் பயிற்சியின் மூன்றாவது நாள்    ஒரு கோடு இரண்டு அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கோடுகளை வெவ்வேறு புள்ளிகளில் வெட்டுமேயானால் அது அக்கோடுகளின் குறுக்குவெட்டி ஆகும்.

  இன்று ஆசிரியர் பயிற்சியின் இரண்டாம் நாள்.    நாம் அன்றாட வாழ்வில் கோணங்களைப் பயன்படுத்துகிறோம்.    குழாய் செப்பனிடுபவர் குழாய்களைச் சீராகப் பொருத்துவதற்குக் கோணத்தைப் பயன்படுத்துகிறார்.     மரவேலை செய்பவர்கள் தங்கள் கருவிகளைச் சரியான கோணத்தில் சரிசெய்து மரங்களைச் சரியான கோணத்தில் அறுக்கிறார்கள்.     வான்வழிப் போக்குவரத்துக் கட்டுப்பாட்டு அலுவலர்களும் விமானங்களை இயக்கக் கோணங்களைப் பயன்படுத்துகிறார்கள்.     சுண்டாட்ட விளையாட்டு வீரர்கள் கோணங்களை நன்கு அறிந்திருந்தால் தங்கள் இலக்கைத் திட்டமிட முடியும்.     கோணமானது ஒரே கோட்டிலமையாத பொதுவான தொடக்கப் புள்ளியைக் கொண்ட இரு கதிர்களால் உருவாகின்றது.   கோணங்களின் வகைகளாவன குறுங்கோணம், செங்கோணம், விரிகோணம், நேர்க்கோணம் மற்றும் பின்வளைக்கோணம் ஆகியவற்றை பற்றியும் அறிந்து கொண்டேன்.

   இன்று பள்ளியின் முதல் நாள்  வகுப்பில் கணித மேதை தேலீஸ் (பொ.கா.மு 620 - 546 ) அவர்களை பற்றி பின்வரும் தகவல்களை அறிந்து கொண்டேன்.        தேலீஸ் கிரேக்க நகரமாகிய மிலிடஸில் பிறந்தார். அவர் வடிவியலி்ல் குறிப்பாக முக்கோணங்களின் அறிமுறை மற்றும் செய்முறை புரிதலுக்காக நன்கு அறியப்பட்டவர்.    தேலீஸ் பிரமிடுகளின் உயரத்தைக் காணவும், கடற்கரைக்கும் கப்பலுக்கும்  இடைப்பட்ட தூரத்தை கணக்கிடவும் வடிவியலைப் பயன்படுத்தினார்.    கிரேக்க நாட்டின் ஏழு ஞானிகள் அல்லது ஏழு துறவிகளில் ஒருவராக விளங்கினார்.     மேற்கத்திய பண்பாட்டின் முதல் தத்துவ மேதையாக அனைவராலும் மதிக்கப்பட்டார்.